TEORÍA

ÁNGULOS

Ángulo, es la parte de un plano que está limitado por dos semirrectas que tienen el mismo origen al que le llamamos vértice.

En la figura vemos que ángulo, es la parte del plano (en verde) comprendida entre dos semirrectas r y s. No hablamos de rectas sino de semirrectas, porque éstas tienen origen o principio y no tienen fin. Si tuvieran fin hablaríamos de segmentos.

Los ángulos, según el espacio que abarcan sus lados pueden ser:

RECTOS: Los que valen 90º:

AGUDOS: Los que valen menos de 90º:

OBTUSOS: Los que valen más de 90º:

ÁNGULO LLANO:  El ángulo LLANO equivale a dos ángulos rectos o 180°.

Los ángulos CONVEXOS valen menos de 180º o menos que un ángulo LLANO. 

Los ángulos CÓNCAVOS valen más de un ángulo LLANO o 180º

DOS ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Dos ángulos se dice que son complementarios cuando sumados valen un recto o 90º.

DOS ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de ambos vale dos rectos, un llano o 180º.

ÁNGULOS ADYACENTES 

Dos ángulos son adyacentes, contiguos o consecutivos los que están situados, uno a continuación del otro de manera que un lado es común (el mismo) para los dos ángulos y los otros dos lados pertenecen a una misma recta y la suma de sus ángulos vale 180º:

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE

Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando los lados de uno de ellos son semirrectas de los lados del otro.

ÁNGULOS DETERMINADOS POR RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL

Observa en el dibujo que dos rectas paralelas cortadas una recta transversal crea 8 ángulos que reciben distintos nombres según la posición que ocupan:

Las recta r corta a las rectas paralelas m y n:

Los  ángulos según el lugar que ocupan reciben los nombres:

Interiores o internos:

Ángulos exteriores o externos:

Ángulos correspondientes:

Son los que se encuentran en el mismo semiplano, un ángulo en la parte interior y otro en el exterior de las paralelas.

Los ángulos del mismo color son correspondientes:

El ángulo a se corresponde con el ángulo a’
El ángulo b se corresponde con el ángulo b’
El ángulo c se corresponde con el ángulo c’
El ángulo d se corresponde con el ángulo d’

Teniendo en cuenta lo dicho hasta aquí y fijándonos en la figura podemos afirmar que los ángulos correspondientes son iguales entre sí.

Ángulos alternos internos

Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona interior de las rectas paralelas:

Los ángulos internos son d’, c, b y a’. Si los tomamos alternadamente, tendríamos, por un lado, los ángulos d’ y b, y por otro, c y a’ y comprobarás que los alternos internos son iguales entre sí.

 Ángulos alternos externos:

Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona externa de las rectas paralelas:

Los ángulos externos son: a, b’, c’ y d que tomándolos alternadamente tendremos, por un lado los ángulos a y c’, y por otro, los ángulos b’ y d. Comprobarás que los ángulos alternos externos son iguales entre sí.

Ángulos Conjugados

Son dos ángulos del mismo lado de la transversal.

Ángulos conjugados internos:

• Son dos ángulos internos a las dos rectas y del mismo lado de la transversal.

            

Ángulos conjugados externos:

• Son dos ángulos externos a las rectas y del mismo lado de la transversal.

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

La palabra bisectriz  procede del latín bis que significa dos veces y secare que significa cortar.

Se llama bisectriz de un ángulo a la recta que partiendo del vértice divide al ángulo en dos partes iguales: 

La recta OA es la bisectriz porque al ángulo de 36º lo divide en dos partes iguales de 18º cada una.

T R I Á N G U L O

El triángulo, como ya lo estudiamos, es un polígono de tres lados. Todo triángulo tiene tres ángulos interiores cuya suma es de 180º y otros tantos exteriores. Cada ángulo exterior vale la suma de los interiores no adyacentes a él.

En la figura que tienes a continuación tienes un triángulo cuyo ángulo exterior tiene el mismo valor que los ángulos interiores no adyacentes a él. 

IGUALDAD DE LOS TRIÁNGULOS

A)    Dos triángulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido entre éstos:

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS LADOS

Los nombres que reciben son:

1) triángulos equiláteros

Las palabras equi - látero vienen del latín: igual – lado.

Son los triángulos cuyos tres lados son iguales: 

2) triángulos isósceles

La palabra isósceles está compuesta de dos palabras griegas iso que significa igual y de la palabra skeles que podemos traducir por piernas.

La palabra isósceles referido a la geometría quiere decir que dos lados (piernas) son iguales. Por lo tanto, un triángulo con dos lados iguales llamamos isósceles.

3) triángulos escalenos

La palabra escaleno procede de la palabra griega skaleno que significa cojear, cojo. Nos da la idea que si el triángulo “cojea” sus lados no son iguales. Efectivamente, el triángulo escaleno tiene sus lados diferentes por lo que sus ángulos también serán diferentes.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS

Se dividen en:

1) Triángulos rectángulos si tienen UN ángulo recto.

En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los lados perpendiculares que forman el ángulo recto se llaman catetos.

Teorema de Pitágoras: 

En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa 

2) Triángulos acutángulos, si tienen TRES ángulos agudos (menores de 90º).

3) Triángulos obtusángulos, si tienen UN ángulo obtuso (más de 90º). 

MEDIATRIZ DE UN TRIÁNGULO

Se llama mediatriz al segmento PERPENDICULAR al lado de un triángulo por su punto medio.

PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULOS

En el caso de un triángulo debemos dibujar las tres mediatrices, una por cada lado siguiendo el mismo procedimiento:

CIRCUNCENTRO

Se trata del centro de una circunferencia que rodea a un triángulo y está en contacto con cada vértice del triángulo.

El circuncentro, además de ser el punto donde se cortan las mediatrices de un triángulo, es el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.Tomamos como ejemplo, la figura anterior

 Observarás que haciendo centro en el circuncentro, la circunferencia toca a los tres vértices del triángulo. Dicho de otro modo, los vértices están a igual distancia del centro o circuncentro.

A continuación tienes otra figura donde apreciarás las mediatrices, el circuncentro y la circunferencia circunscrita.

Observa que cada mediatriz respecto al lado del triángulo es perpendicular al mismo además de pasar por su punto medio.

El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita (en color blanco) que rodea al triángulo tocando sus vértices.

BISECTRICES DE UN TRIÁNGULO

Estudiamos anteriormente lo que era bisectriz de un ángulo. Se trata de una semirrecta que partiendo del vértice divide al ángulo en dos partes iguales.

Podemos decir también que cada punto de la bisectriz, equidista (está a igual distancia) de los lados del ángulo. 

INCENTRO

Un triángulo al tener 3 lados tiene también 3 ángulos. En cada trazamos su bisectriz, como observarás en la figura siguiente.

El punto donde se cortan las 3 bisectrices se llama incentro.

Haciendo centro en el incentro podemos dibujar una circunferencia inscrita, dentro del triángulo.

Cada lado del triángulo está a igual distancia del incentro

 ALTURA DE UN TRIÁNGULO

La altura es el segmento perpendicular comprendida entre un vértice y el lado opuesto.

ORTOCENTRO

Esta palabra procede del griego ortos que significa recto y kéntron= centro.

Si un triángulo tiene 3 lados, tendrá 3 ángulos y por lo tanto, 3 alturas. Cada altura parte de un vértice y llega perpendicularmente al lado opuesto. 

En la figura anterior ves que las tres alturas se cortan en punto. Este punto se llama ortocentro.

MEDIANA

Se llama mediana al segmento comprendido entre un vértice y el punto medio del lado opuesto.

BARICENTRO

Esta palabra procede del griego barús, barys que equivale a pesado, grave.
Dado que en el triángulo tenemos tres lados y tres vértices también tendremos 3 medianas.
Las medianas de un triángulo se cortan en un punto al que llamamos baricentro.

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